Los polígonos son figuras formadas por segmentos de recta, de tal manera que: 1) Los segmentos se juntan solo en sus extremos, 2) como máximo, dos segmentos se encuentran en un punto, y 3) cada segmento toca exactamente a otros dos.
Los segmentos que forman el polígono son sus lados, y sus puntos de unión son sus vértices.
Un diagonal de un polígono es un segmento de recta que conecta dos vértices no consecutivos.
Un polígono es convexo si no hay diagonal fuera del polígono. Un polígono es cóncavo si hay una diagonal fuera del polígono.
En lecciones anteriores se uso la trigonométrica para resolver triángulos rectángulos. Cuando un triangulo no es rectángulo se dice que oblicuángulo. En esta lección se estudiaran dos propiedades que nos permitirán resolver cualquier tipo de triángulos. Estas propiedades se llama Ley de los senos y Ley de los cosenos.
La ley de cosenos es una relación de un lado del triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.
Observamos cómo se utiliza la ley de cosenos cuando queremos buscar cualquier lado del triángulo, vemos que es muy parecido al teorema de Pitágoras; de igual forma tenemos el despeje de la fórmula cuando estamos buscando un ángulo del triángulo. Para poder utilizar la ley de cosenos debemos cumplir dos condiciones.
– Tener dos lados del triángulo y el ángulo entre ellos.
– Tener la medida de los tres lados del triángulo.
Ley de los senos. Dado un triangulo con ángulos A, B y C y lados de longitudes a, b y c (a opuesto A, b opuesto a B, y c opuesto a C) se cumple que senA/a.
La ley de senos es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.
Igualmente tenemos los despejes para cuando buscamos un lado y un ángulo respectivamente, añadiendo que al resultado de segundo despeje (el del ángulo) debemos sacarle seno inverso para que nuestro resultado sea correcto.
Para poder usar la ley de senos debemos cumplir las siguientes condiciones:
– Conocer un lado y dos ángulos del triángulo (LAA).
– Conocer dos lados y el ángulo entre ellos (LLA).
En muchas ocasiones, cierto problema se transforma en uno mas sencillo si hacemos una sustitución adecuada de formulaciones trigonométricas equivalentes.
las identidades trigonométricas son igualdades que se cumplen para todos los valores posible del argumento (en nuestro caso, para todos los valores posibles que puede tomar el angulo). Entendemos por valores posibles aquellos para los cuales si están definidas las razones trigonométricas.
Para contestar esta pregunta, recordemos las definiciones de las funciones trigonométricas:
Para el trabajo con identidades, debemos dominar de memoria las 8 identidades básicas que se concentran en la siguiente tabla. Por efecto de calificación, hemos re-enumerado cada una de ellas.
Graficar la función seno, significa trazar la gráfica correspondientes a la ecuación y=sen x. Recuerda que en ecuaciones como ésta, al sustituir valores de x, se calculan valores correspondientes de y. Es decir, existe una dependencia entre los valores de y y los de x. Es, esencialmente por esta dependencia, que se llama función seno. Cada pareja de valores forman una par ordenado (x,y). Estas parejas ordenadas, se colocan en una plano coordenado cartesiano donde la x será la abscisa y, y la ordenada; posteriormente unimos estos puntos, con lo cual obtenemos la gráficas de la ecuación, en este caso de y=sen x.
La notación y=sen x, generalmente indica que x esta expresada en radianes. Por ello, primeramente debes recordar que todo angulo expresado en grados puede convertirse en radianes y viceversa. También, debes recordar que todo angulo expresado en grados puede convertirse en radianes y viceversa. También debes recordar, como usar la calculadora para determinar los valores de las funciones trigonométricas completa la siguiente tabla haciendo las conversiones requeridas y determinar los valores de la función trigonométrica seno.
Ahora, localizamos en el eje horizontal las medida angulares (preferentemente las expresadas en radiantes) y en el vertical su valor correspondiente para y. Tratar de comprender cada elemento de la siguiente gráfica y une los puntos consecutivos con un trazo suave y continuo. De esta manera, obtendrás la gráfica del seno en el intervalo de 0 a 2 PI radianes.
Una característica relevante de la funciones trigonométricas, es que sus gráficas consisten de una misma porción o ciclo que se repite periódicamente.
Se llama periodo al tramo del eje x en donde se halla un ciclo de la gráfica. El periodo del seno es 2 PI, por lo decimos que la función seno es periodicidad con periodo 2 PI. Esto significa que la gráfica entre 0 y 2 PI ya realizada, se repite siguiendo el mismo modelo al la derecha y a la izquierda de dicho trazo, como se observa a continuación
Teniendo en cuenta las misma consideraciones anteriores, se puede trazar la gráfica de la función coseno. Ahora los pares ordenados cumplirán con la ecuación y=cosx. En la siguiente tabla, determina los valores faltante de la función trigonométrica coseno
Ahora, trata de comprender cada elemento de la siguiente gráfica y une los puntos con trazo suave y continuo. De esta manera. obtendrás la gráfica del coseno en el intervalo de 0 a 2 PI radianes.
Al igual que para el seno, el periodo del coseno es 2 Pi; así pues, la gráfica entre 0 2 Pi ya realizada, se repite siguiendo el mismo modelo a la derecha y a la izquierda de dicho trazo, como se observa a continuación.
A continuación trazaremos la gráfica de la función tangente. Los pares ordenados cumplirán con la ecuación y=tan x. En la siguiente tabla, se presentan los valores de la función trigonométrica tangente compruébalos usando tu calculadora.
La interpretación de los signos de las funciones trigonométricas, es la clave para resolver ecuaciones trigonométricas. Por tanto, la discusión sobre este tema, consistirá básicamente en ayudarte en esa interpretación.
Función seno: positivo en el 1er y 2do cuadrante; negativo en 3ro y 4to.
Función coseno: positivo en el 1er y 4to cuadrante; negativo en el 2do y 3ro.
Función tangente: positivo en el 1er y 3ro cuadrante; negativo en el 2do y 4to.
El ángulo de referencia o ángulo reducido, es el ángulo agudo que forma el lado terminal de un angulo en posición normal con el eje X de un sistema de coordenadas.
Calculo de valores de funciones trigonométricas para cualquier angulo. Se trata de calcular los valore de las funciones trigonométricas de cualquier ángulos a partir de su angulo de referencia(que es un angulo agudo).
El análisis realizado para tres ángulo particulares (150, 210 y 330) lo usaremos de argumentos para establecer la siguiente regla:
(Valor de la función del angulo en posición normal)= (signo de la función en el cuadrante) (Valor de la función del angulo de referencia)
Esta regla solo es de utilidad si no se cuenta con una calculadora científica y necesitamos determinar valores de funciones trigonométrica de ángulos mayores que 90 grados con la simple ayuda de una tabla para ángulos agudos, o bien, cuando necesitamos valores exactos de valores de ángulos especiales mayores que 90 grados. Esto, se ejemplificara a continuación.
Ángulos con lado final sobre un eje coordenado
Si el lado final del ángulo se encuentra sobre uno de los ejes, las definiciones de las funciones siguen siendo validas, aunque en algunos casos esta no estarán definidos debido a que el denominador sera cero.
Los valores correspondientes a 360 grados coinciden con los de 0 grados.
Las razones trigonométricas son funciones que describen relaciones entre los lados de los triángulos rectángulos y sus ángulos internos, Las razones trigonométricas se manejan como sinónimos de las funciones trigonométricas. Sin embargo, existen diferencias sutiles entre ambos conceptos.
La razón trigonométrica, tal como ha sido definida está asociada a un rectángulo y por consiguiente, el angulo que la genera esta dentro de rango 0-90 grados, cosa que no ocurre cuando se maneja el concepto de función. Una razón trigonométrica especifica puede interpretarse como un caso de relación entre los lados de un triangulo, en cambio la función trigonométrica conceptual mente hace un mayor énfasis en la relación de dependencia de las variables, misma que puede ser expresada atrevas de alguna igualdad relacionada con las razones trigonométricas; los así, los dos conceptos básicos: razón trigonométrica y función en uno solo.
Las funciones trigonométricas para el angulo en posición normal, se definen de la siguiente manera:
El signo de las funciones trigonométricas para un angulo en posición normal en cada uno de los cuadrantes de un sistema de coordenadas cartesianas.
Signos de las funciones trigonométricas en los cuatros cuadrantes.
Las funciones reciprocas seno y cosecante, coseno y secante, tangente y cotangente, tienen el mismo signo.
En matemáticas se emplean 2 rectas perpendiculares numeradas para elaborar un método de localización de puntos. la recta horizontal se llama eje X o eje de las abscisas; la recta vertical se llama eje Y o eje de las ordenadas. El punto de intersección de las rectas se llaman origen. Un par de números llamados coordenadas indican la ubicación de cada punto.
Por ejemplo, en un plano el punto A tiene coordenadas (2,1). El primer numero es la coordenada x y el segundo la coordenada y. En general un punto se representa con las coordenadas (x, y). Se empleara la notación P (x, y) para representar al punto P con las coordenadas (x, y). La primera coordenada x recibe el nombre de abscisa y la segunda coordenadas y se denomina ordenada.
El plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes numerados en sentido antihorario. Los signos de cada coordenada para cualquier punto dependerá del cuadrante en donde se encuentre.
Si el rayo se mueve en dirección contrario a las manecillas del reloj, el angulo es positivo, si se mueve en el mismo sentido de las manecillas, es negativo.
Ángulo en posición normal y ángulos coterminales
Un ángulo esta en posición normal si su vértice es el origen y su lado inicial esta sobre la parte positiva del eje X.
Un ángulo entre 0 grados y 90 grados, en posición normal tiene su lado final en el primer cuadrante. Un ángulo comprendido entre 0 grados y 180 grados tiene su lado final en el segundo cuadrante. Un ángulo comprendido entre 0 grados y -90 grados tiene su lado final en el cuadrante y así sucesivamente.
Una revolución completa tiene una medida de 360 grados, Cuando la medida de un ángulo es mayor que 360 grados, el lado en rotación ha completado al menos una revolución.
Blog de Matemáticas 