Día: 3 de diciembre de 2018

Unidad 6

6.7 Circunferencia y circulo. Ángulos asociados a una circunferencia.

Valeria Aispuro Mendoza

Es común que se utilicen circunferencia y circulo como sinónimos, sin embargo, aun cuando estos conceptos están estrechamente vinculados, tienen significados que es precisamente distinguir para poder aplicarlos.

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La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto interior fijo que se llama  centro de la circunferencia. El círculo es la superficie del plano limitado por una circunferencia. La circunferencia es una linea y el círculo una región.

Para referirse a una circunferencia a un círculo, se usa el signo O, que se lee circunferencia (o círculo) con centro O. Para distinguir si se trata de una circunferencia o un círculo con centro O, debemos atender el contexto de uso.

Los siguientes segmentos, rectas, arcos y ángulos se asocian a una circunferencia.

Cuerda es un segmento que une 2 puntos de la circunferencia. Diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.descar311.png

Tangente es la recta que toca a la circunferencia en un punto de la tangencia. Secante es la recta que corta a la circunferencia en 2 puntos.

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Un ángulo central separa a la circunferencia en dos arcos, uno menor y el otro mayor, Observa que para poder nombrar al arco mayor fue necesario considerar un tercer punto de la circunferencia.

Los arcos se miden por sus correspondientes ángulos centrales, Para indicar la medida en grados de AB escribimos mAB. Las medidas en grados se asignadescar33-e1543831058728.pngn a los arcos según las siguientes indicaciones:

También se puede usar la medida del ángulo central para determinar la longitud del arco. La longitud del arco es diferente de la medida en grados de una arco. La longitud del arco es su distancia lineal. Para determinar la longitud de un arco puede considerarse que dicha longitud  es la parte de la circunferencia proporcional a la medida del ángulo central comparada con la circunferencia completa cuya medida es 360 grados y cuya longitud es 2Pir.

Unidad 6

6.6 Propiedades de trapecios

Valeria Aispuro Mendoza

Trapecio (Figura). Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Los lados paralelos reciben en general el nombre de bases, denominándose base mayor al de mayor longitud, y base menor al otro. Se denomina altura del trapecio a la longitud de un segmento de perpendicular comprendido entre ambas bases.

Un trapecio isósceles es un trapecio cuyos lados no paralelos son de la misma longitud.

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Unidad 6

6.5 Propiedades de los paralelogramos especiales.

Valeria Aispuro Mendoza

Rombos, rectángulos y cuadrados todos son paralelogramos. Por lo tanto, todas las propiedades de los paralelogramos que se descubrieron en la lección anterior también aplicara esas otras formas. Pero debido a que estos paralelogramos especiales tiene características particulares, también cumplen con propiedades particulares.

Recuerda que un rombo es un paralelogramo con cuatro lados congruentes o iguales. En otras palabras un rombo es un paralelogramo equilatero.

Propiedad de las diagonales de un rombo: las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si; se bisecan entre si.

Unidad 6

6.4 Propiedades de los paralelogramos

Valeria Aispuro Mendoza

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

El conjunto de los paralelogramos reúne en sí a varios subconjuntos de figuras geométricas, todas ellas con lados opuestos iguales y paralelos, por ejemplo los romboides, los rombos, los cuadrados y los rectángulos son todos subconjuntos pertenecientes al conjunto de los paralelogramos. El hecho de que varias figuras con algunas características distintas sean parte de los paralelogramos hace un poco más complejo el mencionar sus propiedades, puesto que existen propiedades que son comunes a toda la familia de paralelogramos, por ejemplo «lados opuestos iguales y paralelos», pero otras propiedades como ser «ejes de simetría de reflexión» pueden ser diferentes para cada subfamilia de paralelogramos.

Por el motivo anterior se mencionarán en primer término, las propiedades comunes a todos los paralelogramos (de cualquier subclase), luego algunas de las propiedades particulares que diferencian a las distintas clases o figuras de la familia, y finalmente algunas propiedades métricas.

Propiedades de los paralelogramos:

  • Todo paralelogramo tiene cuatro vértices, cuatro lados, además cuatro ángulos interiores (es un subconjunto de los cuadriláteros).
  • Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos (por definición), por lo cual nunca se interceptan.
  • Los lados opuestos de un paralelogramo son de igual longitud, (congruentes).
  • Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales en medida.
  • Los ángulos de dos vértices contiguos cualesquiera son suplementarios (suman 180°).
  • La suma de los ángulos interiores de todo paralelogramo es siempre igual a 360°.
  • El área de un paralelogramo es el doble del área de un triángulo formado por cualquiera de sus diagonales y los lados contiguos de la figura.
  • El área de un paralelogramo es igual a la magnitud (módulo) del producto vectoria de dos lados contiguos, considerados como vectores.
  • Todos los paralelogramos son convexos.
  • Cualquier recta secante coplanar corta al paralelogramos en dos y solo dos de sus lados.
  • Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.
  • El llamado «centro» del paralelogramo se encuentra en el punto en que se bisecan sus dos diagonales.
  • El «centro» del paralelogramo es también el baricentro del mismo.[5]
  • Cualquier recta complanar que pase por el «centro» de un paralelogramo divide a su superficie en dos partes iguales, o en dos trapecios congruentes.[6] El segmento que pasa por el punto medio se llama mediana, aun en el caso extremo de una diagonal.
  • Cualquier recta complanar que pase por el «baricentro»de un paralelogramo es también «transversal de gravedad» del mismo.
  • Cualquier transformación afín no degenerada transforma un paralelogramo en otro paralelogramo.
  • Existe un número infinito de transformaciones afines que transforman a un paralelogramo dado en un cuadrado.
  • Se puede establecer un homeomorfismo entre un paralelogramo y una circunferencia.
  • Una traslación, una rotación de un paralelogramo conservan la forma y el tamaño
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6.3 Propiedades de los polígonos: ángulos interiores y exteriores

Valeria Aispuro Mendoza

Para explorar las medidas de los ángulos interiores y exteriores de los polígonos, te recomendamos usar el Geogebra.

En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los
exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos y los exteriores son sus suplementarios

Conocemos la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, que es 180º. Como cualquier polígono se puede dividir en triángulos se podrá calcular cuál es la suma total en cada caso.

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360º. Teniendo en cuenta que el ángulo interior y el exterior suman 180º, en un polígono de n lados los interiores y los exteriores sumaran, en total, n·180º, como los interiores suman 180º·(n-2) los exteriores suman 360º

 

Unidad 6

6.1 Polígonos

Valeria Aispuro Mendoza

Los polígonos son figuras formadas por segmentos de recta, de tal manera que: 1) Los segmentos se juntan solo en sus extremos, 2) como máximo, dos segmentos se encuentran en un punto, y 3) cada segmento toca exactamente a otros dos.

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Los segmentos que forman el polígono son sus lados, y sus puntos de unión son sus vértices.descar24

Un diagonal de un polígono es un segmento de recta que conecta dos vértices no consecutivos.descar25

Un polígono es convexo si no hay diagonal fuera del polígono. Un polígono es cóncavo si hay una diagonal fuera del polígono.descarga (1)

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Unidad 5

5.9 Ley de los senos y Ley de los cosenos

Valeria Aispuro Mendoza

En lecciones anteriores se uso la trigonométrica para resolver triángulos rectángulos. Cuando un triangulo no es rectángulo se dice que oblicuángulo. En esta lección se estudiaran dos propiedades que nos permitirán resolver cualquier tipo de triángulos. Estas propiedades se llama Ley de los senos y Ley de los cosenos.

La ley de cosenos es una relación de un lado del triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

Observamos cómo se utiliza la ley de cosenos cuando queremos buscar cualquier lado del triángulo, vemos que es muy parecido al teorema de Pitágoras; de igual forma tenemos el despeje de la fórmula cuando estamos buscando un ángulo del triángulo. Para poder utilizar la ley de cosenos debemos cumplir dos condiciones.
– Tener dos lados del triángulo y el ángulo entre ellos.
– Tener la medida de los tres lados del triángulo.

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Ley de los senos. Dado un triangulo con ángulos A, B  y C y lados de longitudes a, b y c (a opuesto A, b opuesto a B, y c opuesto a C) se cumple que senA/a.

La ley de senos es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

Igualmente tenemos los despejes para cuando buscamos un lado y un ángulo respectivamente, añadiendo que al resultado de segundo despeje (el del ángulo) debemos sacarle seno inverso para que nuestro resultado sea correcto.
Para poder usar la ley de senos debemos cumplir las siguientes condiciones:
– Conocer un lado y dos ángulos del triángulo (LAA).
– Conocer dos lados y el ángulo entre ellos (LLA).

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Unidad 5

5.7 Identidades trigonométricas fundamentales

Valeria Aispuro Mendoza

En muchas ocasiones, cierto problema se transforma en uno mas sencillo si hacemos una sustitución adecuada de formulaciones trigonométricas equivalentes.

las identidades trigonométricas son igualdades que se cumplen para todos los valores posible del argumento (en nuestro caso, para todos los valores posibles que puede tomar el angulo). Entendemos por valores posibles aquellos para los cuales si están definidas las razones trigonométricas.

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Para contestar esta pregunta, recordemos las definiciones de las funciones trigonométricas:

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Para el trabajo con identidades, debemos dominar de memoria las 8 identidades básicas que se concentran en la siguiente tabla. Por efecto de calificación, hemos re-enumerado cada una de ellas.

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